本文出自菲爾茲獎得主、劍橋大學數學教授蒂莫西 ? 高爾斯（Timothy Gowers） 主編的《普林斯頓數學指南》中的Advice to a young mathematician 一文。《指南》是一部獨具特色的高水平著作，介紹了很多 20 世紀的數學，且都出自數學大家之筆。該文是阿蒂亞、孔涅等當代五位頂級數學家根據自己的數學研究經驗，對后輩新人給出的忠告——一些寶貴的經驗性建議。令人驚喜的是，它們很少有重復。雖然這些話是針對數學新手而說的，但相信它們值得任何年紀的數學家閱讀。日前，我們已刊發過《阿蒂亞給數學新手的忠告：只有凡夫俗子才最相信自己的能力》，本次刊登由匈牙利裔英國數學家匈牙利裔英國數學家Béla Bollobas帶來的建議。
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撰文?|Béla Bollobas
翻譯?| 陳躍（上海師范大學數學系副教授）
來源 | 《數學文化》
Béla Bollobas
比勒·鮑隆巴斯（Béla Bollobás, 1943-），匈牙利裔英國數學家，英國皇家學會院士，匈牙利科學院院士，歐洲科學院院士，波蘭科學院外籍院士。在泛函分析、組合數學、圖論方面做出過重要貢獻。
“在這個世界上，那些丑陋的數學不可能長久流傳。”哈代（Hardy）曾經這樣寫過，同樣我相信在這個世界上，那些陰郁的缺乏激情的數學家也是沒有什么地位的。僅僅當你真正熱衷于數學時，你才有可能做好它，即使當你從事另外一種工作，在忙了一整天之后你也會擠出時間來研究數學。就像詩歌和音樂一樣，數學不是機械的勞作，而是一種使命。
品味（或鑒賞力）高于一切。對于我們這門學科來說，對什么是好的數學似乎有比較一致的看法，這簡直是一個奇跡。你應當在重要的分支領域里工作，這種領域在相當長的時間里不大可能枯竭，你應該做那些既美麗又重要的問題：在一個好的領域里，這樣的問題非常多，而不是僅有那么幾個著名的難題。確實來說，如果把目標定得太高，將導致在長時間里出不了成果：雖然在你研究生涯的某個階段里可以忍受，但是對于新手來說最好要避免這樣。
在你的數學活動中要努力保持一種平衡：對于真正的數學家來說，研究是放在首要地位的，但是在研究之外，還要進行大量的閱讀，以及搞好教學。要充滿樂趣地做好所有水平的數學工作，即使它（幾乎）跟你的研究沒有任何關系。教學不應該成為負擔，而應該是靈感的來源之一。
研究絕不應該變成一種零星的雜務（不像寫作那樣）：你應該選擇你很難不去想它的問題。這就是為什么你自己有一些被它們深深吸引的問題比你去解決別人交給你的問題要更好的緣故。在你研究生涯的早期，當你還是一個研究生的時候，你應該聽取你的有經驗的導師的意見，讓他來幫助你判斷你自己喜歡的問題是否合適，這比做他給你的問題要好，因為后者可能不符合你的品味。畢竟來說，你的導師對某個問題是否值得你去研究，應該會有一個比較好的想法，哪怕是他對你的實力與品味可能還不了解。在你以后的研究生涯中，當你不再依賴你的導師時，與一些比較談得來的同事的交流也常常會受到啟發。
我會建議你們：在任何時候，你所做的數學問題應該包含以下兩種類型：
(1) “夢想”類的問題：一個你非常想要解決、但基本上你不可能期望解決的大問題。
(2)?非常值得的問題：如果花費足夠的時間和努力、并且足夠幸運的話，你覺得你很有可能解決的一些問題。
此外，還有兩種你應該考慮的問題，雖然它們不如前面的那兩種問題重要。
（1）不時地解決這樣一類問題，它們在你的能力之下，你完全有自信會很快地解決它們，使得花在它們上面的時間，不會妨礙你去解決更合適你的問題。
（2）在更低的層次上，去做那些已經不是真正值得去研究的問題（雖然它們在幾年前曾經是這樣的問題），總是一件非常愉快的事情，由于這些問題太好了，所以值得花時間：解決他們將給你帶來快樂，并鍛煉和提升你的創造能力。
要耐心，要堅持。當你考慮一個問題時，也許你能夠采取的最有用的措施是，在所有的時間里都把這個問題放在心上：牛頓就是用這樣的方法，其他的許多先人也都是這樣。要付出你的時間，尤其是在攻克主要問題的時候，要保證自己在一個大問題上，花費相當數量的時間，但不應期望過多，做完之后，就擱置起來，然后決定接下來該做什么。在讓你的研究不放過一個機會的同時，也應注意不要在一種方法上陷得太深，否則就可能遺漏其他的解決方法。就像愛爾迪希（Paul Erd?s）曾經說過的那樣，要使頭腦敏捷，要讓你的大腦保持開放的狀態。
不要怕犯錯誤。一個錯誤對于一名象棋手來說，可能是致命的，但對一個數學家來說，它相當于是常規的程序。你應該感到恐懼的是面對一張空白稿紙的時候，此時你對問題的思考還不多。等過了一段時間，你的廢紙簍里將裝滿你嘗試失敗的稿紙，此時也許你還在勤奮地工作。要盡量避免平庸的嘗試，而永遠是興致勃勃地投入工作。特別是，研究一個問題的最簡單情形，通常來說不會浪費時間，而且可能是非常有效的方法。
當你在一個問題上花費了相當多的時間之后，很容易低估你所取得的進展，并且還同樣會低估你將它們全部回憶起來的能力。最好將它們寫下來，哪怕是一小部分的結果：你的筆記會節約你以后的大量時間，會給你帶來更多的機會。
如果你足夠幸運，并且取得了突破的話，你很自然地會對整個項目感到有些厭倦，并且還想靠此榮譽止步不前。要抵制這種想法，并努力尋找是否還有其他的突破在等待著你。
作為一個年輕的數學家，你的主要優勢是你有充足的時間做研究。對此你可能沒有意識到，但是以后很可能不大會再有像你開始研究生涯時那樣充足的時間了。每個人都感覺到沒有足夠的時間來研究數學，并且隨著時間的推移，這種感覺會越來越強烈，時間肯定會越來越少。
現在轉向閱讀。在談到所閱讀過的數量時，年輕人通常都處于不利的地位，因此作為彌補，應盡可能地多閱讀，既包括你的一般的領域，也包括作為一個整體的其他數學。在你的研究領域，要確信你讀的許多論文是由最好的人寫的。雖然這些文章常常寫得不太仔細，但是它們所包含的高質量的想法會對你的辛苦閱讀給出豐厚的回報。不論你讀什么，都要保持一種積極參與和質疑的態度：不斷設法理解作者的意圖，不斷努力思考是否還有更好的處理方法。如果作者走的是你已經知道的思路，那么你應該感到高興，如果他走的是另一條不同的道路，那你就應該進一步思考其中的緣由。對于各種定理與證明，反復問你自己這樣的問題，即使它們看起來非常簡單：這些問題將極大地幫助你更好地理解數學。???
另一方面，對于一個你正在打算做的未解決問題，通常來說不必熟讀與此相關的所有東西：但在你很深入地思考過之后，可以（而且應該）去讀那些其他人寫的不成功的文章。
要保持你對新奇事物的感知與驚訝的能力，要能夠欣賞你所讀過的數學研究成果和思想，不要對這些杰出的思想和成果感覺到沒有什么了不起。事后你當然知道事情一定是這樣的，這是很容易的：畢竟你已經剛讀完了證明。聰明的人會舍得花大量的時間來汲取新思想。對他們來說，只知道一些定理和看懂它們的證明是遠遠不夠的：他們要把定理及其證明融化在他們的血液里。
在你的數學職業生涯進展過程中，永遠讓你的心智保持對新思想和新方向的開放狀態：數學的疆域總是在變化，如果你不想落在后面，那你就必須也要跟著變化。永遠要磨礪你的工具，并且不斷學習掌握新的工具。
最重要的是，喜歡數學和熱愛數學。喜歡你自己的研究，到處尋找和閱讀相關的新結果，將你對數學的熱愛傳遞給別人，即使你的創造僅僅是一些美麗的小問題，只要是你思考過的，或者是從你的同事那里聽說的，都會帶來樂趣。
如果我要總結以上這些我們應該遵循的忠告，以便在科學和藝術中獲得成功，那么最好是回憶Vitruvius在兩千年前曾經寫下的一句話：從來不學習的天才，以及沒有天才的學習者，都不能成為一個完美的藝術家。
本文摘自原載于《數學文化》第4卷第2期的《給年輕數學家的忠告》，經譯者授權刊發。
